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        研究巴拿赫空间之前，我们有必要完全弄清楚巴拿赫空间、希尔伯特内积空间、赋范线性空间这三者之间的区别和联系。

        赋范线性空间是距离空间，希尔伯特内积空间必然是赋范线性空间，巴拿赫空间是完备的赋范线性空间。这是三者间的基本关系。

        作为资深专家，具备大师水平的数学研究者，穆勒和沈奇同样需要依托最基础的理论去证明体系内的定理。

        内积空间中的内积可以定义范数，而范数不一定非要内积来定义。希尔伯特空间是巴拿赫空间的特例，而巴拿赫空间是完备距离空间的特例。

        所以，沈奇基于穆勒在982年的一条证明重新定义如下：

        “巴拿赫空间的一个非空子集称为逼近紧的，是指对任意{n}∞n=∈及任意y∈，如果使得

        ‖n-y‖→dist（y，）=inf{‖n-y‖：∈}，

        那么{n}∞n=就存在一个柯西列，称是逼近紧的，且的每个闭凸子集是逼近紧。”

        “思路逐渐清晰，沈奇你认为一个巴拿赫空间是逼近紧的当且仅当它具备drp性质。”穆勒教授再次检查沈奇设定的前提条件。

        巴拿赫空间综合了泛函分析、拓扑、空间几何等诸多分支，是一个有难度的领域，不适合初学者接触。

        “没错。”沈奇和穆勒交流起来非常通畅，聪明人不废话，数学家不啰嗦。

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